анон-анон пишет: |
bregalad пишет:
бывают и интересные задачи. Одну я прочитал в какой-то статье про Андрея Дмитриевича Сахарова. Между стеной и человеком натянута резинка длиной в 1 метр, в ее начале находится жучок. Жучок проползает по резинке 1 см, после чего человек, растягивая резинку, отходит на 1 км. Так повторяется многократно.
итерация описана не полностью, через два шага расстояние будет 1000 км или что? |
Длина резинки последовательно меняется: 1 метр, 1км+1м, 2км+1м, 3км+1м и т.д., на каждом этапе человек отходит ровно на километр, а потом жучок проползает по резинке один сантиметр. Когда резинка растягивается, жучок на ней тоже перемещается (считаем, что он при этом не ползет). Можно считать долю общей длины резинки, которую жучок преодолел. В первый момент она равна 1cm/1m =0.01, после отхода на километр и проползания жучком 1см она равна 0.01 + 1см/(1км+1м) = 0.01 + 1/(100000+100), после второго этапа 0.01 + 1/(100000+100) + 1/(200000+100), после третьего 0.01 + 1/(100000+100) + 1/(200000+100) + 1/(300000 + 100) и т.д. Очевидно, что ряд расходится (частичная сумма ограничена снизу величиной 1/100000*(1/2+1/3+1/4+1/5+...), а это расходящийся гармонический ряд).
анон-анон пишет: |
При этом математика, традиционная (есть более строгие варианты) полна логики примерно этого же уровня. В первую очередь это касается областей вокруг теории множеств. Куча откровенных манипуляций вокруг всяких "множеств всех множеств" |
На мой взгляд, это никакой не парадокс. Когда мы определяем множество, его элементы уже должны быть определены, т.е. оно не может содержать само себя в качестве элемента, так что никакого "множества всех множеств" не существует.
анон-анон пишет: |
либо же работа с бесконечностью так, как будто это что-то конечное, на чём строятся традиционные доказательства вроде того, что множество действительных чисел несчётно |
Тоже не вижу здесь никаких противоречий. Доказываем с помощью традиционного диагонального приема, что множество бесконечных десятичных дробей невозможно перенумеровать (от противного, если можно, то строится бесконечная дробь, которая не содержится в таблице).
анон-анон пишет: |
или что мощность (мера, или как там это называется) рациональных чисел равна нулю. |
Ну и что? Всё строго, в соответствии с определением меры Лебега (точная нижняя грань суммарных длин последовательности интервалов, покрывающих элементы множества). Да это и интуитивно понятно, ведь множество рациональных чисел сплошь "дырявое", состоит из отдельных точек, между которыми всегда есть промежуточные (иррациональные) точки, не принадлежащие множеству рациональных чисел.