| Тарантино пишет: |
| Я говорю про ту математику, что преподаётся в университетах, основные предметы математических факультетов. Там наука 17-18-19 века, в некоторых случаях начало 20 века. Можно просто выписать фамилии математиков, теоремы которых там изучают. Основа это 18-19 век. |
Целый предмет "математическая логика" сформировался целиком в XX веке (и это, можно сказать, главное достижение математики 20-го века). Ничего подобного совершенно удивительным теоремам Гёделя (о неполноте формальной арифметики, о невозможности доказательства непротиворечивости теории множеств) в XIX веке даже представить было невозможно. Проблема континиум-гипотезы была решена в XX веке (и, опять же, это решение, которое просто невозможно было ожидать и даже сформулировать раньше, совсем другая парадигма). Об алгоритмически неразрешимых проблемах мы узнали после работ Алана Тьюринга уже после второй мировой войны, это всё тоже принципиально меняет ту математику, которая изучается в университетах.
Моя специальность — алгебра, терия колец (в моем случае некоммутативных), она вообще сформировалась только во второй половине XX века, причем скорее ближе к концу. (Хотя коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия — это первая половина XX века.)
| Тарантино пишет: |
| И в любом случае это не отменяет главного, даже если предмет относительно новый, подход к обучению всё равно идёт "из глубины веков". А сформировался он таким потому, что иные подходы просто технологическое развитие не позволяло. |
Не знаю, мне кажется, наличие компьютеров, а также систем компьютерной алгебры (или, шире компьютерной математики), таких как Wolfram Mathematica, MATLAB или
обожаемый мной SageMath, довольно сильно меняет процесс обучения. Конечно, у меня взгляд несколько специфический, потому что я из основных курсов преподавал Computer Science, причем в большей степени с упором на то, как математика может применяться в программировании (хотя есть совершенно удивительные примеры и обратного влияния, типа решения проблемы четырех красок). Вот маленький фрагмент, который я рассказывал именно в обязательном курсе программирования в четвертом семестре:
Теория чисел и кодирование с открытым ключом
Здесь речь идет о применениях довольно-таки элементарной теории чисел на практике (что даёт просто потрясающий эффект, типа схемы электронной подписи или криптовалют). Вот интересно, какие там математические результаты используются:
— расширенный алгоритм Евклида, алгоритм быстрого возведения в степень, китайская теорема об остатках — всё это было известно еще древним грекам, т.е. пару тысяч лет назад;
— Малая теорема Ферма, теорема и формула Эйлера — XVII – XVIII век;
— понятие фактор-кольца, кольца вычетов — конец XIX века;
— совершенно удивительные
кармайкловы числа (и знаменитое первое кармайклово число 561) были открыты американским математиком Робертом Кармайклом уже в XX веке (1911 г.);
— вероятностный алгоритм проверки простоты Миллера-Рабина (основа всех современных криптосистем) — это уже 70-е годы XX века;
— алгоритмы факторизации (разложения на множители) целых чисел Полларда — это 1975 г.;
— блестящий алгоритм факторизации целых чисел Ленстров, основанный на работе с эллиптическими кривыми над кольцами вычетов — 1987 г. Между прочим, и современная схема цифровой подписи, и криптовалюты (биткоин в частности) основаны на использовании эллиптических кривых;
— алгоритмы факторизации типа квадратичное решето Диксона — 1981 г.;
— детерминированный алгоритм проверки простоты с полиномиальным временем работы — это уже результат нового тысячелетия (Агравал-Кайен-Саксема, 2002 г.), за который авторы в 2006-м году получили две престижные премии в области математики.
Говорить, что всё это уровень XIX века, совершенно некорректно.
Можно отметить, что компьютеры позволяют сейчас буквально пощупать все эти результаты руками. Вероятностный тест простоты любой студент может реализовать на Питоне за полчаса, это позволяет, например, быстро написать программу, которая генерирует 1000-значные случайные простые числа (правда, есть ненулевая вероятность ошибки, но ее можно сделать сколь угодно малой). В свое время блестящий математик Леонард Эйлер показал, что пятое число Ферма F5 не является простым (до него ошибочно считали, что все числа Ферма простые):
F5 = 2^(2^5) + 1 = 2^32 + 1 = 4294967297 = 641 * 6700417
Для того, чтобы разложить это число на множители, понадобился гений Эйлера, но сейчас с помощью компьютера это может сделать любой школьник. А студент мехмата за 10 минут напишет на Питоне программу, которая раскладывает на множители уже 40-значные десятичные числа (используя один из алгоритмов факторизации Полларда). Мой студент в курсовой написал программу, которая генерирует большие простые числа с сертификатами простоты (т.е. доказательствами их простоты, которые легко проверяются; это не псевдо-простые числа, полученные исключительно с помощью вероятностного теста Миллера-Рабина). За ночь она генерирует набор случайных простых чисел с длиной записи 10 тысяч десятичных цифр.
Новое сообщение
Цитировать
Ответить
