Тоска

tanya-kol Newmam , однако, преподает математику в ВУЗе и с олимпиадными задачами имела дело много-много-много-много -много раз. На Вашем месте я прислушалась бы к ее ответу.

Амарант пишет:

" А и Б играют в игру. У них есть шахматная доска , в нижнем левом углу которой стоит ладья. За ход можно двигать ладью на любое количество клеток вверх или вправо. А ходит первым. Кто из них выиграет, если никто не сделает ошибочного хода?"

А выигрывает тот, кто первым достигнет правого верхнего угла?

Mary я описала полное условие задачи

Ура, олимпиаду продлили до завтра! Поэтому еще задачка:
При сложении двух целых чисел Коля поставил лишний ноль на конце одного из слагаемых и получил в сумме 777 777 вместо 111 111. Вопрос: Какие числа он складывал?.

Mary пишет:

Амарант пишет: " А и Б играют в игру. У них есть шахматная доска , в нижнем левом углу которой стоит ладья. За ход можно двигать ладью на любое количество клеток вверх или вправо. А ходит первым. Кто из них выиграет, если никто не сделает ошибочного хода?" А выигрывает тот, кто первым достигнет правого верхнего угла?

Наверно, именно это и имеется в виду.
Я 2 дня назад купил тоненькую книжечку для школьников, посвященную симметрии. Против ожидания, она и для меня оказалась интересной. Она как раз начинается с подобной задачки:
Двое играющих по очереди кладут на круглый стол одинаковые монеты так, чтобы они не касались друг друга. Проигрывает тот, кто не может положить очередную монету. Кто выигрывает в этой игре?

Решение. Выигрывает всегда первый. Он первым ходом кладет монету точно в центр круглого стола и затем симметрично повторяет все ходы второго игрока (имеется в виду центральная симметрия; стол может быть не только круглый, любой центрально-симметричный или зеркально-симметричный подойдет — например, прямоугольный).

Подобное решение и у этой задачи, только здесь выигрывает второй: он повторяет все ходы первого, только в перпендикулярном направлении (если первый подвинул ладью вправо на 2 клетки, то второй двигает вверх тоже на две клетки). Здесь изначально ладья стоит на диагонали. Если бы она стояла не на диагонали, то выигрывал бы первый игрок, ставя ладью своим первым ходом на диагональ.

Учитывая количество оставшихся свободных клеток по горизонтали и вертикали, задачу можно переформулировать следующим образом:
Есть две кучки монет, в каждой по 7 штук. За 1 ход играющий может взять любое (ненулевое) количество монет, но только из одной кучки. Выигрывает тот, кто берет последнюю монету. Кто выигрывает?
В такой (эквивалентной) постановке задача совершенно очевидна (ответ "второй игрок"; если в кучках было бы неравное число монет, то первый игрок, который своим первым ходом уравнивает кучки). Однако ее можно обобщить, и она становится очень интересной:
Есть n кучек монет, в них вначале лежат
k1, k2, ..., kn
монет соответственно...
и далее аналогично. Интересно, что в такой формулировке нельзя сказать, кто выигрывает — зависит от чисел k1, k2, ..., kn. Например, пусть
n=3, k1=6, k2=4, k3=2. Тогда выигрывает первый игрок.

Алгоритм выигрыша в этой задаче очень красивый и использует представление чисел в двоичной системе счисления (полезное упражнение для начинающих программистов — написать программу, которая играет с человеком; если у нее есть выигрыш, то она его не упускает, если нет, то она делает ход, который оставляет позицию максимально сложной).

Также этот вариант игры реализуется на шахматной доске: например, для упомянутых
n=3, k1=6, k2=4, k3=2
ставим на доску 3 белых ладьи и 3 черных друг напротив друга:
белые — на полях a1, b2, c3, черные — на полях a8, b7, с6; за один ход можно подвинуть свою ладью на любое количество клеток вперед (до упора во вражескую ладью; белые и черные ладьи двигаются в противоположных направлениях). Выигрывает тот, кто делает последний ход (проигрывает тот, кому некуда ходить).

Спиралька 74074 и 37037

---

Мы вправе лететь, куда хотим, и быть такими, какими мы созданы.

bregalad пишет:

Наверно, именно это и имеется в виду.

Ну я как бы к тому, что некоторые математики, в частности преподаватели кружка, наверное считают очевидным поставленный вопрос, тогда как у задачи просто не прописаны условия. Когда ребенок спросил " а в чем смысл игры?" ему начали объяснять как эту задачу решить. Ну в точности как Вы сейчас

Амарант пишет:

Когда ребенок спросил " а в чем смысл игры?" ему начали объяснять как эту задачу решить. Ну в точности как Вы сейчас

Почему?
Я же написал, что формулировка не дописана до конца и, скорее всего, имеется в виду именно то, о чем спросила Mary. А задача совсем простая, но на поверку она оказывается простейшим случаем более интересной и хорошо известной задачи.

И, вообще, я отличаюсь редкостным занудством, которое в то же время можно трактовать и как аккуратность. Неточности в условиях задач для меня как раз нехарактерны.

Marusenka2 пишет:

Спиралька 74074 и 37037

Красивая задача! (И, браво Marusenka2, решившей ее почти мгновенно!)

Marusenka2 пишет:

74074 и 3703

Классно, а как дошли то?)) Ребенок в шоке!!! Щас спрошу, нет ли еще вопросов))Тулуп- это сила!!!

Спиралька
x + y = 111111
x + 10*y = 777777

=> вычитанием из второго первого находим y=74074, а потом и x=37037.
Не знаю, подойдет ли в таких терминах детям

Спиралька пишет:

а как дошли то?

При сложении двух целых чисел Коля поставил лишний ноль на конце одного из слагаемых и получил в сумме 777 777 вместо 111 111. Вопрос: Какие числа он складывал?
Может, есть и красивое и короткое решение, но тупое решение такое:
обозначим число, к которому приписали справа 0, через x, другое через y, тогда, поскольку
последняя цифра суммы с приписанным нулем 7, то число y кончается на семерку. Последняя цифра суммы без нуля 1, значит, число x кончается на 4. Предпоследняя цифра суммы с нулем 7, число x с приписанным нулем кончается на 40, значит, значит, предпоследняя цифра числа y есть 3: x=...4, y=...37. Сумма без нуля кончается на ...11, значит, значит, x кончается на ...74. Итак, x=...74, y=...37. Опять вспоминаем сумму с нулем: x0+y=...740+...37=777777, значит, третья с конца цифра числа y равна 0, y=...037. Применяем сумму без нуля: x+y=...74+...037=111111, значит, третья с конца цифра числа x равна 0: x=...074, y=...037. И так далее. На каждом нечетном шаге у нас известно равное количество цифр в концах x и y, поэтому применяем сумму с нулем, что позволяет определить еще одну цифру числа y, затем на четном шаге определяем соответствующую цифру числа x, используя сумму без нуля. Так и получим ответ: x=74074, y=37037.

P.S. Весь идиотизм этого решения я оценил, прочитав ответ Mary. Позор на мои седины...

Mary Все гениальное оказывается просто - спасибо, подойдет))
Bregalad, тоже интересно, но вчера сломались на третьем шаге)

bregalad пишет:

Есть n кучек монет, в них вначале лежат k1, k2, ..., kn монет соответственно... и далее аналогично. Интересно, что в такой формулировке нельзя сказать, кто выигрывает — зависит от чисел k1, k2, ..., kn. Например, пусть n=3, k1=6, k2=4, k3=2. Тогда выигрывает первый игрок.

Блин... второй (игрок, а блин уже незнамо какой). День с утра не задался.

bregalad пишет:

Может, есть и красивое и короткое решение, но тупое решение такое:

складываем столбиком так, чтобы по диагонали получалось 7, а прямо - 1.......... Начинаем с конца: в первом случае пишем снизу под чертой 1111111, крайние правые числа 4 и 7 ( друг над другом) =1 и разматываем сложение столбиком назад. Во втором случае пишем снизу под чертой 777777, крайние правые числа 0 и 7 =7, так же разматываем..........Задача на сложение столбиком для 2-го класса........

---

Мы вправе лететь, куда хотим, и быть такими, какими мы созданы.

Marusenka2 Пробовали, но сломались быстро))) Терпения не хватило)

Marusenka2,
примерно то, что и я написал, но у Mary красивее, короче, понятнее.

Marusenka2[/b ] ой, т.е. 111111 и 777777, ну вы меня поняли...

---

Мы вправе лететь, куда хотим, и быть такими, какими мы созданы.

Marusenka2 мозг вскипеллл ! После 2-Х ЧАСОВ боди-балета так пожрать охота, а вы тут с арифметикой!!!!!!!!

---

Мы вправе лететь, куда хотим, и быть такими, какими мы созданы.

Товарищ Колбасный пишет:

... какая скука! Скажите-ка что-нибудь мне веселое.

Не было у бабы печали, пошла баба на балет......в коньках..........

---

Мы вправе лететь, куда хотим, и быть такими, какими мы созданы.