| Хвоствил пишет: |
| а понятие аксиома не является вариантом догмы? Насколько помню, это же утверждение не требующее доказательства. |
Ничего общего. Аксиома — это просто некоторое свойство, набор аксиом — набор свойств. Теорема — это то, что можно логически вывести из этого набора свойств. То есть если некоторая система обладает указанным набором свойств (аксиом), то в ней должный выполняться и теоремы, которые логически следуют из этих свойств. Например, аксиомы группы состоят в том, что группа — это множество с одной бинарной операцией (которую обычно называют умножением), для которой выполняется закон ассоциативности (ab)c=a(bc), коммутативность ab=ba в группе не требуется (коммутативные группы называются абелевыми), в которой существует нейтральный элемент (который обычно называют единицей), обладающий свойством 1a=a1=a для любого a, плюс также для любого элемента a существует левый обратный к нему элемент b, такой, что ba=1. Если эти свойства (аксиомы) выполняются, то можно, например, доказать, что для любого элемента a существует и правый обратный элемент c такой, что ac=1. Более того, можно доказать, что правый обратный элемент всегда равен левому обратному. Эти два утверждения уже являются теоремами, которые выводятся из перечисленных выше аксиом группы.
Доказательство того, что левый обратный является и правым обратным. Пусть a — произвольный элемент группы и b — левый обратный к нему элемент. Тогда ba=1. К элементу b также существует левый обратный элемент c такой, что cb=1. Домножим равенство ba=1 слева на c, получим cba=c. Поскольку cb=1 и учитывая ассоциативность умножения, имеем c(ba)=(cb)a=1a=a, получим a=c. Из равенств cb=1 и a=c следует, что ab=1, то есть левый обратный к a элемент b является и правым обратным. Это теорема, которую мы вывели из перечисленных аксиом группы.
Важно понимать, что аксиомы группы применимы к различным системам: группа может быть конечной или бесконечной, простой (не содержащей нормальных подгрупп, не будем сейчас давать определения), для конечных групп можно доказать теорему Лагранжа (порядок подгруппы делит порядок группы), теорему Силова о подгруппах простого порядка и т.п. Примеры групп — например, группы симметрий (т.е. взаимно-однозначных отображений некоторого объекта в себя, сохраняющих его свойства), группы перестановок, группа невырожденных квадратных матриц над произвольным полем (рациональными, вещественными, комплексными числами, полями вычетов по модулю простого числа и т.д.), вообще огромное множество совершенно разных примеров. Например, группа симметрий куба изоморфна группе перестановок (которую математики называют симметрической группой) порядка 4, имеющей 4!=24 элемента. Классификация конечных простых групп — одно из главных достижений математики XX века (там есть несколько бесконечных серий плюс 26 отдельно стоящих, так называемых "спорадических" групп), правда, объем этого доказательства оценивается в несколько десятков тысяч страниц, оно настолько сложное, что, похоже, никогда не будет полностью опубликовано, есть совсем немного людей в мире (наверно, лишь несколько десятков), которые могут понять его идеи; фактически есть только вера, что это доказательство можно привести.
Почему-то математика в школах преподается на каком-то древнем уровне, даже не Греции до нашей эры, а вообще не пойми что. Отсюда и это совершенно неверное понимание математических терминов.
Догмы — это скорее законы логики. Типа если из утверждения A следует утверждение B, а из B следует С, то из A следует С. Также, если A истинно и из A следует B, то B тоже истинно (modus ponens). Хотя и с логикой не всё так просто, есть интуиционистская логика, в которой не выполняется закон исключенного третьего (A или не A) и в которой доказательства от противного не принимаются.
Логика свойственна человеку независимо от его образованности, национальности, религии, возраста, ума и т.п. (Иммануил Кант использовал термин трансцендентальный субъект). Так же, как и признание причинно-следственных связей (иначе невозможно было бы воздействовать на мир) и необратимости времени (путешествие в прошлое возможно лишь в фантастической литературе). Но слово "аксиома" в этом контексте неприменимо (законы логики предшествуют любым аксиомам, также как две формы "чистого созерцания" Канта — пространство и время — предшествуют любому опыту).
| внук Ленина пишет: |
| При этом есть ключевое правило логики, что звучит на простом языке примерно как "из истины можно вывести только истину, из лжи можно вывести что угодно". |
Небольшое замечание: в интуиционистской логике из лжи ничего вывести нельзя.
