| profi222 пишет: |
| "действительные числа - это аксиоматическое определение (т.е. система, удовлетворяющая заданному набору аксиом), оставляющее открытым вопрос о существовании и единственности." Это и есть определение действительных чисел? |
Одно из — зависит от предпочтений лектора, как излагать теорию (анализ и т.п.). Набор аксиом может однозначно определять какой-то объект, а может задавать целый класс различных (т.е. неизоморфных) объектов, ему удовлетворяющих. Мы перечисляем аксиомы для множества действительных чисел (с операциями сложения и умножения и упорядоченностью — на самом деле, упорядоченного поля), а затем из этих аксиом выводим теоремы. При этом, например, нашего лектора по анализу вопросы существования и единственности с точностью до изоморфизма системы действительных чисел не очень интересовали — как он нам сразу сказал, что это скорее предмет другой важнейшей ветви математики — математической логики.
Явно построить систему действительных чисел можно с помощью дедекиндовых сечений. Отталкиваемся от множества Q рациональных чисел (рац. числа — это классы эквивалентности дробей вида m/n, где m, n целые, n != 0, дроби m/n и s/t эквивалентны, если mt=ns). Сечением называется разбиение (т.е. представление в виде объединения непересекающихся подмножеств) множества Q на 2 непустых подмножества A и B, Q=A U B, такие, что
1) если элементы x и y принадлежат A, то и любой элемент z такой, что
x<z<y также принадлежит A (т.е. в A нет "дыр");
2) такое же условие для B;
3) любой элемент из A меньше любого элемента из B;
4) в B нет наименьшего элемента (т.е. для любого x из B найдется y из B такой, что y<x).
Множество всех сечений представляет собой действительные числа (операции и порядок определяются естественным образом). Сечение (A, B) представляет рациональное число, если в A есть наибольший элемент (элемент, который больше или равен всех остальных элементов из A); в противном случае сечение (A, B) представляет иррациональное число.
Другой популярный способ явного определения действительных чисел — фундаментальные последовательности рациональных чисел — я не стану здесь излагать, он ясен для тех, кто учил анализ. Он, кстати, более общий, годится для построения p-адических чисел (отталкиваясь от множества целых чисел).
Интересен вопрос о единственности множества действительных чисел (для фиксированного набора аксиом, конечно), он не так уж и прост; связан с разными формулировками аксиомы Архимеда (достижимости) для целых чисел (в классической формулировке — для любого натурального x найдется число у вида
1, 1+1, 1+1+1, ..., большее, чем x — в некоторых аксиоматических системах она неформализуема, и, если от нее отказаться, то получаем нестандартные модели действительных чисел и очень интересный нестандартный анализ. Про последний читайте в книге В.А.Успенский "Что такое нестандартный анализ?". Кстати, В.А.Успенский, профессор кафедры логики мехмата МГУ — один из тех авторов, которых стоит слушать всегда и читать все книги, написанные ими, если только вам интересна математика; примерно то же, что я написал про А.Сосинского, и я бы еще присовокупил сюда В.И.Арнольда.)
