Учим иностранные языки

bregalad, когда речь о том, откуда человек или о его происхождении, с essere употребляется не da, а di: Di dove sei? Sono di Mosca. È di nobile famiglia. È di sangue blu.
Da используется с venire, provenire, discendere, nascere, derivare: Da dove vieni? Vengo da Mosca. Discende da una famiglia nobile. Nacque da nobile famiglia. L'italiano deriva dal latino.
Una macchina da lavare - это машина, которую нужно помыть. Долженствование - ещё одно очень употребительное значение da: una lettera da scrivere - письмо, которое нужно написать, un lavoro da fare - работа, которую нужно сделать, un modulo da compilare - бланк для заполнения. Сюда же действие, которое можно произвести с подлежащим: un bel soggetto da disegnare - хороший сюжет для рисунка, un'ottima musica da pattinare - музыка, под которую очень хорошо кататься.
Стиральная машина - lavatrice. Кстати, так образуются многие названия машин и приспособлений: impastatrice, affettatrice, levigatrice, lucidatrice, fresatrice, alesatrice, trebbiatrice... C da + глагол мне приходят в голову только macchina da cucire и macchina da scrivere, причём многие итальянцы предпочитают macchina per scrivere, потому что для них самих macchina da scrivere звучит как "машина, которую надо написать", а не "пишущая машинка". Назначение чаще обозначается с помощью не da + глагол, а da + существительное: macchina da taglio - резальная машина, macchina da maglieria - вязальная машина.
Lavorare da + профессия существует, но это малоупотребительно. Обычно говорят "fare + определённый артикль + профессия" или "lavorare come + профессия или должность": faccio la sarta, lavoro come sarta, faccio l'ingegnere, lavoro come ingegnere, faccio la ragioniera, lavoro come responsabile amministrativa di una ditta. Зато когда речь именно о том, что кто-то или что-то выступает в определённом качестве, da очень пригодится, особенно в сочетаниях "fare da ...", "fungere da...": mio marito mi fa da allenatore - мой муж мне за тренера, questa stanza funge da ripostiglio - эта комната служит кладовкой.
Короче, да, без постоянной практики даже составители учебников, как видим, плывут во всех этих случаях употребления, что уж говорить об учениках.
P.S. Хороший вопрос. Уходить от кого-л. - буквально andare via da qualcuno, andarsene da qualcuno. Иди ко мне - vieni da me, иди от меня - va' via da me или просто via da me! Пойдём от неё - Andiamocene da lei!
Но чаще говорят по-другому, например, lasciare qualcuno: alle nove sono andati da lei, alle dieci l'hanno lasciata - в девять они к ней пошли, в десять от неё ушли. Или же употребляют "там" или название места: prima siamo andati da lei, da lì ci siamo spostati da Anna - сначала мы пошли к ней, оттуда перебрались к Анне, da casa sua siamo andati da Anna - от неё (букв. из её дома) пошли к Анне. А то и вообще опускают: alle nove sono andati da lei, alle dieci se ne sono andati. В ne, по существу, уже включено "от неё, оттуда".